怎么判定一个二次型是正定的？

田田12321

判定一个二次型是否是正定的，可以通过以下几种方法：
1. "定义法"： - 如果一个二次型( f(x) = x^T A x )在实数域上对所有非零向量( x )都满足( f(x) > 0 )，则称这个二次型是正定的。
2. "矩阵法"： - 对于二次型( f(x) = x^T A x )，如果其对应的矩阵( A )满足以下条件之一，则二次型是正定的： - ( A )是实对称矩阵（即( A = A^T )）。 - ( A )的所有特征值都是正数。 - ( A )的所有顺序主子式都是正数。
3. "顺序主子式法"： - 计算矩阵( A )的各阶顺序主子式（即( A )的左上角( n imes n )子矩阵的行列式），如果所有这些顺序主子式都是正数，则( A )是正定的。
4. "正惯性指数法"： - 如果矩阵( A )的秩等于其正特征值的个数，即正惯性指数等于矩阵的秩，则( A )是正定的。
5. "伴随矩阵法"： - 如果矩阵( A )的伴随矩阵

安静60646

判定二次型(或对称矩阵)为正定的方法有如下两种

行列式法

对于给定的二次型

，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

正惯性指数法

对于给定的二次型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于n来判定二次型的正定性。